Номер 384, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

384. Докажите, что при повороте равностороннего треугольника около точки пересечения медиан на $120^\circ$ он перейдет сам в себя.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, а $O$ — точка пересечения его медиан.

В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан совпадает с его центром, а также является центром описанной окружности. Это означает, что точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть расстояния от $O$ до $A$, $B$ и $C$ равны радиусу описанной окружности: $OA = OB = OC$.

Отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соединяют центр с вершинами треугольника. Так как стороны треугольника равны ($AB = BC = CA$), то и центральные углы, опирающиеся на эти стороны (как на хорды), также равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA$. Сумма этих углов составляет полный угол $360^\circ$. Следовательно, каждый из этих углов равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Рассмотрим поворот на $120^\circ$ вокруг центра $O$. Поворот является движением, то есть сохраняет расстояния.

При повороте на $120^\circ$ вокруг точки $O$ вершина $A$ перейдет в такую точку $A'$, что $OA' = OA$ и $\angle AOA' = 120^\circ$. Так как мы установили, что $OB = OA$ и $\angle AOB = 120^\circ$, то точка $A'$ совпадает с точкой $B$. Таким образом, вершина $A$ переходит в вершину $B$.

Аналогично, при повороте на $120^\circ$ вокруг $O$ вершина $B$ перейдет в вершину $C$ (так как $OC=OB$ и $\angle BOC = 120^\circ$), а вершина $C$ перейдет в вершину $A$ (так как $OA=OC$ и $\angle COA = 120^\circ$).

Поскольку при повороте на $120^\circ$ вокруг точки пересечения медиан вершины треугольника $A, B, C$ переходят в вершины $B, C, A$ соответственно, то треугольник $ABC$ переходит в треугольник $BCA$, то есть отображается сам на себя. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан $O$ является его центром. Расстояния от центра до вершин равны ($OA=OB=OC$), а углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, равны $120^\circ$ ($\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ$). Поэтому поворот на $120^\circ$ вокруг $O$ циклически перемещает вершины ($A \to B \to C \to A$), в результате чего треугольник совмещается сам с собой.