Тест 3, страница 206 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Для $\vec{a}(-3; 4)$ и $\vec{b}(0; -1)$ найдите:

а) $|\vec{a}|$; $|\vec{b}|$;

б) $-2\vec{a}$;

в) $\vec{a} + \vec{b}$;

г) $2\vec{a} - 3\vec{b}$;

д) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

е) $\cos(\vec{a}; \vec{b})$.

Даны векторы $\vec{a}(-3; 4)$ и $\vec{b}(0; -1)$.

а) $|\vec{a}|; |\vec{b}|$

Длина (модуль) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Найдем длину вектора $\vec{a}(-3; 4)$:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Найдем длину вектора $\vec{b}(0; -1)$:
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: $|\vec{a}| = 5$; $|\vec{b}| = 1$.

б) $-2\vec{a}$

Чтобы умножить вектор на число (скаляр), нужно каждую его координату умножить на это число.
$-2\vec{a} = -2 \cdot (-3; 4) = (-2 \cdot (-3); -2 \cdot 4) = (6; -8)$.
Ответ: $-2\vec{a}(6; -8)$.

в) $\vec{a} + \vec{b}$

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты.
$\vec{a} + \vec{b} = (-3 + 0; 4 + (-1)) = (-3; 3)$.
Ответ: $\vec{a} + \vec{b}(-3; 3)$.

г) $2\vec{a} - 3\vec{b}$

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$, а затем найдем их разность.
$2\vec{a} = 2 \cdot (-3; 4) = (-6; 8)$.
$3\vec{b} = 3 \cdot (0; -1) = (0; -3)$.
$2\vec{a} - 3\vec{b} = (-6 - 0; 8 - (-3)) = (-6; 11)$.
Ответ: $2\vec{a} - 3\vec{b}(-6; 11)$.

д) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 0 - 4 = -4$.
Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$.

е) $\cos(\vec{a}; \vec{b})$

Косинус угла между векторами находится по формуле:
$\cos(\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Мы уже вычислили все необходимые значения в предыдущих пунктах:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ (из пункта д).
$|\vec{a}| = 5$ и $|\vec{b}| = 1$ (из пункта а).
Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\vec{a}; \vec{b}) = \frac{-4}{5 \cdot 1} = -\frac{4}{5} = -0.8$.
Ответ: $\cos(\vec{a}; \vec{b}) = -0.8$.