Номер 5, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Признаки равенства треугольников:

1) по двум сторонам и ...;

2) по стороне и двум ... углам;

3) по трем ...

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) по двум ...;

2) по катету и прилежащему ...;

3) по катету и противолежащему ...;

4) по гипотенузе и ... углу;

5) по катету и ...

Признаки равенства треугольников:

1) по двум сторонам и ...;
Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак также называют «СУС» (сторона-угол-сторона).
Ответ: по двум сторонам и углу между ними.

2) по стороне и двум ... углам;
Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак также называют «УСУ» (угол-сторона-угол).
Ответ: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) по трем ... .
Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Этот признак также называют «ССС» (сторона-сторона-сторона).
Ответ: по трем сторонам.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) по двум ...;
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны. Это является частным случаем первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, который равен $90^\circ$).
Ответ: по двум катетам.

2) по катету и прилежащему ...;
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. Это частный случай второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, один из которых прямой).
Ответ: по катету и прилежащему острому углу.

3) по катету и противолежащему ...;
Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, равенство противолежащего угла влечет за собой и равенство прилежащего, что сводит этот признак к предыдущему.
Ответ: по катету и противолежащему острому углу.

4) по гипотенузе и ... углу;
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Этот признак также следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).
Ответ: по гипотенузе и острому углу.

5) по катету и ... .
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны. Этот признак можно доказать, используя теорему Пифагора для нахождения второго катета, после чего задача сводится к равенству по двум катетам.
Ответ: по катету и гипотенузе.