Номер 2, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Вертикальные углы ...

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых, например, AB и CD, в точке O образуются две пары вертикальных углов: первая пара — $\angle AOC$ и $\angle BOD$, и вторая пара — $\angle AOD$ и $\angle COB$.

Теорема о вертикальных углах: Вертикальные углы равны.

Доказательство:
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O. Докажем, что вертикальные углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны.
Углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$ являются смежными, так как их стороны OC и OD лежат на одной прямой (прямая CD), а сторона AO у них общая. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$, следовательно: $\angle AOC + \angle AOD = 180^\circ$.
С другой стороны, углы $\angle BOD$ и $\angle AOD$ также являются смежными, так как их стороны OB и OA лежат на одной прямой (прямая AB), а сторона OD у них общая. Поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle BOD + \angle AOD = 180^\circ$.
Из этих двух равенств мы можем выразить величины углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle AOD$
$\angle BOD = 180^\circ - \angle AOD$
Поскольку правые части этих уравнений равны, то должны быть равны и левые части. Таким образом, мы получаем: $\angle AOC = \angle BOD$.
Аналогично, используя в качестве общего смежного угла $\angle AOC$ или $\angle BOD$, можно доказать равенство второй пары вертикальных углов: $\angle AOD = \angle COB$.
Теорема доказана.

Ответ: Вертикальные углы равны.