Номер 385, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

385. Составьте алгоритм, позволяющий при помощи циркуля и линейки вписать в данный треугольник квадрат, как показано на рисунке 313.

Рис. 313

Для построения вписанного квадрата в треугольник, как показано на рисунке, наиболее наглядным и удобным является метод гомотетии (преобразования подобия). Суть метода заключается в построении вспомогательного квадрата, который удовлетворяет части условий задачи, а затем его масштабировании относительно одного из центров гомотетии (в данном случае, одной из вершин треугольника) до тех пор, пока он не займет требуемое положение.

В качестве центра гомотетии удобно выбрать вершину A, так как при гомотетии с центром в этой точке прямые AB и AC, на которых должны лежать вершины N, M и K искомого квадрата, остаются на месте (переходят сами в себя).

Ниже приводится подробный алгоритм построения, основанный на этом методе.

Алгоритм построения

1. На стороне AB треугольника ABC произвольным образом выбрать точку $N_1$.
2. С помощью циркуля и линейки опустить перпендикуляр из точки $N_1$ на сторону AC. Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначить $M_1$.
3. С помощью циркуля измерить длину отрезка $N_1M_1$. На стороне AC отложить от точки $M_1$ в сторону точки C отрезок $M_1K_1$, равный по длине отрезку $N_1M_1$.
4. Построить точку $P_1$ так, чтобы четырехугольник $M_1N_1P_1K_1$ являлся квадратом. Для этого нужно в точке $K_1$ восстановить перпендикуляр к стороне AC и отложить на нем отрезок $K_1P_1$, равный по длине $M_1K_1$.
5. Провести луч из вершины A через построенную точку $P_1$.
6. Точка пересечения луча $AP_1$ со стороной BC является вершиной P искомого квадрата.
7. Из точки P опустить перпендикуляр PK на сторону AC. Отрезок PK является стороной искомого квадрата.
8. На стороне AC от точки K в направлении точки A отложить отрезок KM, равный по длине отрезку PK.
9. Построить отрезок MN, перпендикулярный стороне AC и равный по длине PK. Точка N при этом окажется на стороне AB.
10. Четырехугольник MNPK является искомым вписанным квадратом.

Обоснование

Построенный на шагах 1-4 вспомогательный квадрат $M_1N_1P_1K_1$ имеет два свойства, присущие искомому квадрату: его нижняя сторона $M_1K_1$ лежит на прямой AC, а одна из вершин $N_1$ лежит на стороне AB. Искомый квадрат MNPK должен обладать теми же свойствами, а также дополнительным свойством: его вершина P должна лежать на стороне BC.

Фигуры MNPK и $M_1N_1P_1K_1$ являются гомотетичными с центром в точке A. Это преобразование масштабирует вспомогательный квадрат $M_1N_1P_1K_1$ до тех пор, пока его вершина, соответствующая $P_1$, не попадет на сторону BC. Так как гомотетия сохраняет углы и пропорции, полученная фигура MNPK также будет квадратом. А поскольку центр гомотетии находится в точке A, вершины M, K и N останутся на прямых AC и AB, как и у вспомогательного квадрата. Таким образом, все условия задачи будут выполнены.

Ответ:

Для того чтобы вписать квадрат в треугольник, как показано на рисунке, следует выполнить следующий алгоритм действий с помощью циркуля и линейки:

1. Выбрать произвольную точку $N_1$ на стороне AB и опустить из нее перпендикуляр $N_1M_1$ на сторону AC.
2. На стороне AC отложить отрезок $M_1K_1$, равный $N_1M_1$.
3. Построить вспомогательный квадрат $M_1N_1P_1K_1$.
4. Провести луч из вершины A через точку $P_1$ до пересечения со стороной BC в точке P.
5. Из точки P опустить перпендикуляр PK на сторону AC.
6. Построить квадрат MNPK на стороне PK так, чтобы вершины M и K лежали на AC. Этот квадрат будет искомым.