Номер 3, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов ... .

Данное утверждение является теоремой о свойстве серединного перпендикуляра. Чтобы его завершить и доказать, введем обозначения и выполним доказательство.

Дано:

Пусть имеется отрезок $AB$.
Прямая $m$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
Точка $O$ — это точка пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$.
По определению серединного перпендикуляра:
1) $O$ является серединой отрезка $AB$, что означает $AO = OB$.
2) Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$, что означает $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$, где $C$ — любая точка на прямой $m$.
Выберем на прямой $m$ произвольную точку $C$.

Доказать:

Расстояние от точки $C$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $C$ до точки $B$, то есть необходимо доказать, что $AC = BC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, которые образуются: $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.
Поскольку прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$, оба этих треугольника являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $O$.
Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Катет $OC$ у них является общим.
2. Катет $AO$ равен катету $OB$ ($AO = OB$), поскольку точка $O$ — середина отрезка $AB$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ равны по двум катетам.
Также можно применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как сторона $AO = BO$, сторона $OC$ — общая, а угол между ними $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, гипотенуза $AC$ треугольника $\triangle AOC$ соответствует гипотенузе $BC$ треугольника $\triangle BOC$.
Следовательно, $AC = BC$.
Так как точка $C$ была выбрана на серединном перпендикуляре произвольно, это означает, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$. Утверждение доказано.

Ответ: ... этого отрезка. Это свойство доказывается через равенство двух прямоугольных треугольников ($\triangle AOC$ и $\triangle BOC$), образованных произвольной точкой $C$ на серединном перпендикуляре $m$, концами отрезка ($A$ и $B$) и его серединой ($O$). Эти треугольники равны по двум катетам: катет $OC$ является общим, а катеты $AO$ и $OB$ равны, так как $O$ — середина отрезка $AB$. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз $AC$ и $BC$, что и означает, что точка $C$ равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$.