Номер 4, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон ...

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Это утверждение является фундаментальным свойством биссектрисы угла. Для полного и развернутого ответа докажем это свойство (прямая теорема), а также обратное ему утверждение (обратная теорема). Вместе они определяют биссектрису как геометрическое место точек.

Доказательство прямой теоремы

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Пусть дан угол $\angle BAC$ и его биссектриса $AL$. Возьмем на биссектрисе произвольную точку $M$. Докажем, что расстояние от точки $M$ до стороны $AB$ равно расстоянию от точки $M$ до стороны $AC$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Таким образом, $MP \perp AB$ и $MQ \perp AC$. Нам необходимо доказать, что $MP = MQ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle APM$ и $\triangle AQM$. У этих треугольников:
- гипотенуза $AM$ является общей;
- острые углы $\angle PAM$ и $\angle QAM$ равны, так как луч $AM$ (являющийся частью биссектрисы $AL$) делит угол $\angle BAC$ пополам.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих катетов, то есть $MP = MQ$.

Поскольку точка $M$ была выбрана на биссектрисе произвольно, это означает, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Что и требовалось доказать.

Доказательство обратной теоремы

Теорема: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Пусть внутри угла $\angle BAC$ находится точка $M$, равноудаленная от его сторон. Это значит, что длины перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на стороны $AB$ и $AC$, равны. Обозначим их $MP$ и $MQ$. По условию, $MP \perp AB$, $MQ \perp AC$ и $MP = MQ$.

Рассмотрим снова прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$. У них:
- гипотенуза $AM$ является общей;
- катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle PAM = \angle QAM$.

Это означает, что луч $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Что и требовалось доказать.

Оба доказательства вместе показывают, что биссектриса угла является геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон.

Ответ: этого угла.