Тест 1, страница 206 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Используя рисунок, выразите векторы $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DK}$ через векторы $\overrightarrow{DA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{DC} = \vec{b}$.

$\overline{DB}$

Для того чтобы выразить вектор $\overline{DB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Мы можем построить путь из точки $D$ в точку $B$ через точку $A$. Таким образом, вектор $\overline{DB}$ можно представить как сумму векторов $\overline{DA}$ и $\overline{AB}$:

$\overline{DB} = \overline{DA} + \overline{AB}$.

Из условия задачи мы знаем, что $\overline{DA} = \vec{a}$.

На рисунке изображен параллелограмм $ABCD$. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Следовательно, вектор $\overline{AB}$ равен вектору $\overline{DC}$:

$\overline{AB} = \overline{DC}$.

Из условия также дано, что $\overline{DC} = \vec{b}$. Значит, $\overline{AB} = \vec{b}$.

Подставив известные значения векторов $\overline{DA}$ и $\overline{AB}$ в исходное равенство, получаем:

$\overline{DB} = \vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\overline{DB} = \vec{a} + \vec{b}$.

$\overline{AC}$

Для выражения вектора $\overline{AC}$ также используем правило треугольника. Представим вектор $\overline{AC}$ как сумму векторов, идущих из $A$ в $D$ и из $D$ в $C$:

$\overline{AC} = \overline{AD} + \overline{DC}$.

Вектор $\overline{AD}$ противоположен по направлению вектору $\overline{DA}$. Нам дан вектор $\overline{DA} = \vec{a}$, следовательно, $\overline{AD} = -\overline{DA} = -\vec{a}$.

Вектор $\overline{DC}$ дан по условию: $\overline{DC} = \vec{b}$.

Подставляем эти значения в формулу для $\overline{AC}$:

$\overline{AC} = -\vec{a} + \vec{b}$, что обычно записывают как $\overline{AC} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\overline{AC} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\overline{DK}$

Чтобы найти вектор $\overline{DK}$, представим его как сумму векторов по правилу треугольника, идущих из точки $D$ в точку $C$ и из точки $C$ в точку $K$:

$\overline{DK} = \overline{DC} + \overline{CK}$.

Из условия задачи нам известно, что $\overline{DC} = \vec{b}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\overline{CK}$. Точка $K$ лежит на стороне $BC$. По отметкам на рисунке видно, что $K$ является серединой отрезка $BC$.

Это означает, что вектор $\overline{KC}$ равен половине вектора $\overline{BC}$, то есть $\overline{KC} = \frac{1}{2}\overline{BC}$.

Вектор $\overline{CK}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\overline{KC}$, следовательно, $\overline{CK} = -\overline{KC} = -\frac{1}{2}\overline{BC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор $\overline{BC}$ равен вектору $\overline{AD}$:

$\overline{BC} = \overline{AD}$.

Вектор $\overline{AD}$ является противоположным вектору $\overline{DA}$. Так как по условию $\overline{DA} = \vec{a}$, то $\overline{AD} = -\overline{DA} = -\vec{a}$.

Таким образом, $\overline{BC} = -\vec{a}$.

Теперь мы можем найти вектор $\overline{CK}$:

$\overline{CK} = -\frac{1}{2}\overline{BC} = -\frac{1}{2}(-\vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a}$.

Наконец, подставляем выражения для $\overline{DC}$ и $\overline{CK}$ в формулу для $\overline{DK}$:

$\overline{DK} = \overline{DC} + \overline{CK} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.

Ответ: $\overline{DK} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$.