Номер 383, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

383. Докажите, что при повороте квадрата около точки пересечения диагоналей на $90^\circ$ он перейдет сам в себя.

Пусть дан квадрат $ABCD$, и $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Из основных свойств квадрата известно, что его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Из этого следуют два ключевых факта:

1. Расстояния от точки пересечения диагоналей до всех вершин равны: $OA = OB = OC = OD$.
2. Углы между отрезками, соединяющими центр с соседними вершинами, равны $90^\circ$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Рассмотрим поворот на $90^\circ$ вокруг точки $O$. Для определенности будем считать, что поворот выполняется против часовой стрелки. По определению поворота, каждая точка плоскости $M$ переходит в такую точку $M'$, что расстояние от центра поворота до точки сохраняется ($OM = OM'$), а угол $\angle MOM'$ равен углу поворота.

Применим это определение к вершинам нашего квадрата:

• При повороте вершины $A$ вокруг точки $O$ на $90^\circ$, она перейдет в точку $A'$, для которой $OA' = OA$ и $\angle AOA' = 90^\circ$. Из свойств квадрата (пункты 1 и 2 выше) мы знаем, что точка $B$ полностью удовлетворяет этим условиям: $OB = OA$ и $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, вершина $A$ переходит в вершину $B$.
• Аналогично, вершина $B$ переходит в вершину $C$, так как $OC = OB$ и $\angle BOC = 90^\circ$.
• Вершина $C$ переходит в вершину $D$, так как $OD = OC$ и $\angle COD = 90^\circ$.
• Вершина $D$ переходит в вершину $A$, так как $OA = OD$ и $\angle DOA = 90^\circ$.

Таким образом, при повороте на $90^\circ$ вокруг центра $O$ вершины квадрата отображаются на вершины этого же квадрата: $A \to B$, $B \to C$, $C \to D$, $D \to A$.

Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет расстояния между точками. Это означает, что стороны квадрата перейдут в стороны: отрезок $AB$ перейдет в $BC$, $BC$ в $CD$, и так далее. Вся фигура, ограниченная вершинами $A, B, C, D$, перейдет в фигуру, ограниченную вершинами $B, C, D, A$. Так как это тот же самый набор вершин, то и квадрат отобразится сам на себя. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Из-за этого при повороте на $90^\circ$ вокруг центра каждая вершина квадрата переходит в соседнюю вершину, в результате чего весь квадрат совмещается сам с собой.