Номер 377, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

377. Докажите, что при движении окружность преобразуется в равную ей окружность.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, окружность — это множество всех точек $M$ плоскости, для которых расстояние до центра $O$ равно радиусу $R$. Таким образом, для любой точки $M$ на окружности $\omega$ выполняется равенство $OM = R$.

Пусть $f$ — произвольное движение (изометрия) плоскости. По определению, движение является преобразованием, сохраняющим расстояния между любыми двумя точками. Это означает, что для любых точек $A$ и $B$ плоскости расстояние между их образами $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ равно расстоянию между исходными точками: $A'B' = AB$.

Рассмотрим образ окружности $\omega$ при движении $f$. Обозначим этот образ через $\omega'$. Образ $\omega'$ состоит из всех точек $M' = f(M)$, где $M$ — любая точка исходной окружности $\omega$.

Пусть точка $O'$ является образом центра $O$ при движении $f$, то есть $O' = f(O)$.

Возьмём произвольную точку $M$ на окружности $\omega$. Её образ $M' = f(M)$ принадлежит фигуре $\omega'$. Найдём расстояние от точки $M'$ до точки $O'$.

Поскольку $f$ является движением, оно сохраняет расстояние между точками. Следовательно, расстояние между образами $O'$ и $M'$ равно расстоянию между их прообразами $O$ и $M$:

$O'M' = OM$

Так как точка $M$ лежит на окружности $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$, то по определению окружности $OM = R$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $O'M' = R$.

Это означает, что любая точка $M'$ образа $\omega'$ находится на постоянном расстоянии $R$ от фиксированной точки $O'$. По определению, множество всех таких точек является окружностью с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.

Две окружности считаются равными, если их радиусы равны. Исходная окружность $\omega$ имела радиус $R$. Преобразованная окружность $\omega'$ также имеет радиус $R$. Следовательно, окружность $\omega'$ равна окружности $\omega$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при движении окружность преобразуется в окружность с тем же радиусом, то есть в равную ей окружность.