Моделирование, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Задача. Пусть в басне Д. И. Крылова про лебедя, рака и щуку силы персонажей составляют друг с другом углы в 120$^\circ$ и известно, что сила, с которой тянет воз лебедь, в 2 раза больше силы щуки, а сила щуки в 2 раза больше силы рака. Причем все три силы направлены в одной горизонтальной плоскости (лебедь, взмахивая крыльями, бежит по земле, щука плывет по поверхности воды, рак ползет по земле). В каком направлении будет двигаться воз (рис. 299)?

Составьте математическую модель и примените для решения задачи правила сложения векторов.

C

$\vec{F}_{\text{л}}$

B

$\vec{F}_{\text{p}}$

З

Ю

$\vec{F}_{\text{щ}}$

Рис. 299

Составьте математическую модель

Математическая модель данной задачи основана на сложении векторов сил. Пусть $\vec{F_р}$, $\vec{F_щ}$ и $\vec{F_л}$ — векторы сил, с которыми рак, щука и лебедь тянут воз соответственно.

Направление движения воза будет совпадать с направлением результирующей силы $\vec{R}$, которая является векторной суммой этих трех сил:

$\vec{R} = \vec{F_р} + \vec{F_щ} + \vec{F_л}$

По условию задачи, углы между векторами сил составляют $120°$. То есть, угол между $\vec{F_р}$ и $\vec{F_щ}$ равен $120°$, между $\vec{F_щ}$ и $\vec{F_л}$ — $120°$, и между $\vec{F_л}$ и $\vec{F_р}$ — также $120°$.

Обозначим модули (величины) сил как $F_р$, $F_щ$ и $F_л$. Из условия известно:

• Сила лебедя в 2 раза больше силы щуки: $F_л = 2 F_щ$.
• Сила щуки в 2 раза больше силы рака: $F_щ = 2 F_р$.

Выразим все силы через наименьшую — силу рака $F_р$.

$F_щ = 2 F_р$

$F_л = 2 F_щ = 2 \cdot (2 F_р) = 4 F_р$

Для удобства расчетов примем модуль силы рака за условную единицу $F$. Тогда:

$F_р = F$

$F_щ = 2F$

$F_л = 4F$

Ответ: Математическая модель задачи описывается необходимостью найти направление результирующего вектора $\vec{R} = \vec{F_р} + \vec{F_щ} + \vec{F_л}$, где модули векторов сил соотносятся как $F_р:F_щ:F_л = 1:2:4$, а углы между любыми двумя векторами составляют $120°$.

В каком направлении будет двигаться воз (рис. 299)?

Для нахождения результирующей силы $\vec{R}$ воспользуемся методом разложения векторов на компоненты. Введем систему координат с началом в точке приложения сил (центр воза). Направим ось $X$ по направлению В (Восток), а ось $Y$ — по направлению С (Север).

Согласно рисунку, сила рака $\vec{F_р}$ направлена на З (Запад). Расположим этот вектор вдоль отрицательного направления оси $X$. Тогда его угол с положительным направлением оси $X$ составляет $180°$.

Координаты вектора $\vec{F_р}$:

$F_{рx} = F_р \cos(180°) = F \cdot (-1) = -F$

$F_{рy} = F_р \sin(180°) = F \cdot 0 = 0$

$\vec{F_р} = (-F, 0)$

Векторы сил смещены друг относительно друга на $120°$. Сила лебедя $\vec{F_л}$ будет направлена под углом $180° - 120° = 60°$ к положительному направлению оси $X$.

Координаты вектора $\vec{F_л}$:

$F_{лx} = F_л \cos(60°) = 4F \cdot \frac{1}{2} = 2F$

$F_{лy} = F_л \sin(60°) = 4F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2F\sqrt{3}$

$\vec{F_л} = (2F, 2F\sqrt{3})$

Сила щуки $\vec{F_щ}$ будет направлена под углом $180° + 120° = 300°$ (или $-60°$) к положительному направлению оси $X$.

Координаты вектора $\vec{F_щ}$:

$F_{щx} = F_щ \cos(-60°) = 2F \cdot \frac{1}{2} = F$

$F_{щy} = F_щ \sin(-60°) = 2F \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -F\sqrt{3}$

$\vec{F_щ} = (F, -F\sqrt{3})$

Теперь найдем компоненты результирующего вектора $\vec{R} = (R_x, R_y)$ путем сложения компонент:

$R_x = F_{рx} + F_{лx} + F_{щx} = -F + 2F + F = 2F$

$R_y = F_{рy} + F_{лy} + F_{щy} = 0 + 2F\sqrt{3} - F\sqrt{3} = F\sqrt{3}$

Результирующий вектор $\vec{R} = (2F, F\sqrt{3})$.

Так как обе компоненты ($R_x$ и $R_y$) положительны, вектор $\vec{R}$ направлен в первую координатную четверть. В нашей системе координат это соответствует направлению на северо-восток.

Ответ: Воз будет двигаться в северо-восточном направлении.