Номер 12, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

12. Внешний угол треугольника равен сумме двух ... углов, не ... с ним.

Данное утверждение является теоремой о внешнем угле треугольника. Чтобы правильно вставить пропущенные слова, нужно знать точную формулировку этой теоремы и её доказательство.

Заполнение пропусков

Теорема о внешнем угле треугольника гласит: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Сравнивая эту формулировку с заданием, можно однозначно определить пропущенные слова:

1. Пропуск после слова "двух": внутренних. Фраза целиком: "сумме двух внутренних углов".

2. Пропуск после слова "не": смежных. Фраза целиком: "не смежных с ним".

Доказательство теоремы

Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. По теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Построим внешний угол при вершине $C$. Для этого продлим сторону $AC$ за точку $C$ и получим точку $D$. Угол $\angle BCD$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$.

Внутренний угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) и внешний угол $\angle BCD$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:
$\angle C + \angle BCD = 180^\circ$

Теперь у нас есть два равенства:
1) $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
2) $\angle BCD + \angle C = 180^\circ$

Правые части обоих равенств одинаковы ($180^\circ$), значит, мы можем приравнять их левые части:
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle BCD + \angle C$

Вычтем из обеих частей равенства угол $\angle C$:
$\angle A + \angle B = \angle BCD$

Это и доказывает теорему: внешний угол треугольника ($\angle BCD$) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($\angle A$ и $\angle B$).

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.