Номер 15, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

15. В треугольнике против большей стороны лежит больший ..., а против большего угла лежит ... .

Это утверждение является фундаментальной теоремой в геометрии, которая устанавливает связь между длинами сторон и величинами противолежащих им углов в любом треугольнике. Полностью и правильно заполненное утверждение выглядит следующим образом:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим обе части этого утверждения и их доказательства.

Часть 1: Против большей стороны лежит больший угол

Эта часть теоремы гласит, что если в треугольнике одна сторона длиннее другой, то угол, который находится напротив этой более длинной стороны, имеет большую градусную меру, чем угол напротив более короткой стороны.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$, лежащими напротив углов $A$, $B$, $C$ соответственно. Утверждение можно записать в виде импликации: если сторона $a > b$, то $\angle A > \angle B$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $AC > BC$. Нам нужно доказать, что $\angle ABC > \angle BAC$.

На большей стороне $AC$ отложим от вершины $C$ отрезок $CD$, равный по длине меньшей стороне $BC$. Так как $AC > BC$, точка $D$ окажется между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. В образовавшемся треугольнике $BCD$ две стороны равны ($BC = CD$), значит, он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Теперь рассмотрим угол $\angle CDB$. Он является внешним углом для треугольника $ABD$. По свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle CDB = \angle BAD + \angle ABD$. Отсюда следует, что $\angle CDB > \angle BAD$ (то есть $\angle CDB > \angle BAC$).

Поскольку мы установили, что $\angle CBD = \angle CDB$, мы можем заменить $\angle CDB$ на $\angle CBD$ в последнем неравенстве и получить: $\angle CBD > \angle BAC$.

Угол $\angle ABC$ является целым, а угол $\angle CBD$ — его частью ($\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$). Следовательно, $\angle ABC > \angle CBD$.

Итак, мы имеем цепочку неравенств: $\angle ABC > \angle CBD$ и $\angle CBD > \angle BAC$. Из этого следует, что $\angle ABC > \angle BAC$. Теорема доказана: против большей стороны $AC$ лежит больший угол $\angle ABC$.

Часть 2: Против большего угла лежит большая сторона

Это обратное утверждение, которое гласит, что если один угол в треугольнике больше другого, то и сторона, лежащая напротив большего угла, будет длиннее стороны, лежащей напротив меньшего угла.

Формально: если $\angle A > \angle B$, то сторона $a > b$.

Доказательство (методом от противного):

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $B$ ($\angle A > \angle B$). Нам нужно доказать, что $a > b$.

Предположим обратное, то есть что сторона $a$ не больше стороны $b$. Это оставляет нам две возможности: $a = b$ или $a < b$.

Случай 1: $a = b$. Если стороны равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. В этом случае углы при основании также должны быть равны: $\angle A = \angle B$. Но это прямо противоречит нашему исходному условию, что $\angle A > \angle B$.

Случай 2: $a < b$. Если сторона $a$ меньше стороны $b$, то согласно первой части теоремы (которую мы уже доказали), против большей стороны $b$ должен лежать больший угол $B$. То есть, должно выполняться неравенство $\angle B > \angle A$. Это также противоречит исходному условию $\angle A > \angle B$.

Поскольку оба возможных альтернативных предположения привели нас к противоречию, они ложны. Методом исключения остается единственно верный вывод: $a > b$. Утверждение доказано.

Эти соотношения также являются следствием теоремы синусов, которая связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Из этой формулы видно, что длина каждой стороны прямо пропорциональна синусу противолежащего угла ($a = 2R \sin A$). В диапазоне углов треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$) большему углу, как правило, соответствует и большее значение синуса, а значит, и большая длина противолежащей стороны.

Ответ: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.