Номер 20, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

20. Внешний угол треугольника больше любого ... угла треугольника, не смежного с ним.

Утверждение в заполненном виде выглядит следующим образом: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.

Для того чтобы убедиться в правильности этого утверждения, приведем его развернутое доказательство.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для нашего треугольника это записывается так:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Теперь определим внешний угол. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов. Построим внешний угол при вершине $C$, продлив сторону $AC$ за точку $C$. Пусть $D$ — точка на этом продолжении. Тогда $\angle BCD$ — это внешний угол треугольника при вершине $C$.

По определению смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Значит, для внутреннего угла $\angle C$ (или $\angle BCA$) и внешнего угла $\angle BCD$ выполняется равенство:
$\angle C + \angle BCD = 180^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
2) $\angle C + \angle BCD = 180^\circ$

Правые части обоих уравнений равны ($180^\circ$), следовательно, мы можем приравнять их левые части:
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle C + \angle BCD$

Вычтем из обеих частей равенства величину $\angle C$:
$\angle A + \angle B = \angle BCD$

Мы получили ключевое свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае углы $\angle A$ и $\angle B$ как раз и являются внутренними углами, не смежными с внешним углом $\angle BCD$.

Из этого равенства直接 следует утверждение, которое нужно было доказать. Поскольку любой треугольник (невырожденный) имеет углы с положительной градусной мерой, то $\angle A > 0$ и $\angle B > 0$.

Тогда из формулы $\angle BCD = \angle A + \angle B$ мы можем сделать два вывода:
1. Так как к $\angle A$ прибавляется положительное число $\angle B$, то $\angle BCD > \angle A$.
2. Так как к $\angle B$ прибавляется положительное число $\angle A$, то $\angle BCD > \angle B$.

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника ($\angle BCD$) строго больше любого из двух не смежных с ним внутренних углов ($\angle A$ и $\angle B$). Это подтверждает, что в пропуске должно стоять слово «внутреннего».

Ответ: внутреннего.