Номер 17, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

17. Любая точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит

На ... .

Данное утверждение является свойством серединного перпендикуляра к отрезку. Докажем его.

Пусть дан отрезок $AB$. Возьмем произвольную точку $P$ на плоскости, которая равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что длины отрезков $PA$ и $PB$ равны: $PA = PB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. Так как у него две стороны равны ($PA = PB$), то по определению он является равнобедренным с основанием $AB$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Соединим точки $P$ и $M$. Отрезок $PM$ в треугольнике $\triangle APB$ является медианой, проведенной к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $PM$ перпендикулярен отрезку $AB$, то есть угол $\angle PMA = 90^\circ$.

Таким образом, точка $P$ лежит на прямой, проходящей через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярной ему. Такая прямая и называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Если точка $P$ лежит на самой прямой $AB$, то из условия $PA = PB$ следует, что $P$ является серединой отрезка $AB$. Середина отрезка также принадлежит серединному перпендикуляру.

Итак, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Ответ: серединном перпендикуляре к этому отрезку.