Номер 22, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

22. Если у треугольника высота является биссектрисой, или высота является медианой, или медиана является биссектрисой, то треугольник ... .

Данное утверждение является признаком равнобедренного треугольника. Если в треугольнике совпадают любые два из трех следующих отрезков, проведенных из одной вершины: высота, биссектриса, медиана — то такой треугольник является равнобедренным. Докажем это для каждого из трех случаев, перечисленных в условии.

Если у треугольника высота является биссектрисой

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BH$, проведенный к стороне $AC$, является одновременно высотой и биссектрисой.

Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$. Это означает, что $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Так как $BH$ — биссектриса, то она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABH = \angle CBH$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. У них есть общая сторона $BH$. Углы, прилежащие к этой стороне, в обоих треугольниках равны: $\angle BHA = \angle BHC$ и $\angle ABH = \angle CBH$.

Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Если у треугольника высота является медианой

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BH$, проведенный к стороне $AC$, является одновременно высотой и медианой.

Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$. Это означает, что $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Так как $BH$ — медиана, то она делит сторону $AC$ на две равные части: $AH = HC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. У них сторона $BH$ — общая, сторона $AH$ равна стороне $HC$, а угол между этими сторонами в обоих треугольниках прямой и равен $90^\circ$.

Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Если у треугольника медиана является биссектрисой

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, проведенный к стороне $AC$, является одновременно медианой и биссектрисой.

Так как $BM$ — медиана, то $AM = MC$.

Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle ABM = \angle CBM$.

Чтобы доказать, что $AB = BC$, продолжим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину, отложив отрезок $MD = BM$. Соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$. В них $AM = CM$ (по условию), $BM = DM$ (по построению), а углы $\angle AMB$ и $\angle CMD$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CDM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle ABM = \angle CDM$.

Мы знаем, что $\angle ABM = \angle CBM$ (поскольку $BM$ — биссектриса). Из этого и из равенства $\angle ABM = \angle CDM$ получаем, что $\angle CBM = \angle CDM$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем два угла равны: $\angle CBD$ (он же $\angle CBM$) и $\angle CDB$ (он же $\angle CDM$). Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle BCD$ — равнобедренный, и его стороны, противолежащие равным углам, равны: $BC = CD$.

Ранее мы установили, что $AB = CD$. Сопоставив это с равенством $BC = CD$, получаем, что $AB = BC$.

По определению, треугольник $ABC$, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Таким образом, во всех трех случаях треугольник оказывается равнобедренным. Следовательно, предложение нужно закончить словом «равнобедренный».