Номер 16, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

16. Биссектрисы смежных углов взаимно ... .

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения смежных углов и биссектрисы угла, а также их свойства.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (то есть лежат на одной прямой). Главное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть у нас есть два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Их общая сторона — $OC$, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла.

Проведём луч $OD$ как биссектрису угла $\angle AOC$ и луч $OE$ как биссектрису угла $\angle BOC$.

Согласно определению биссектрисы:

$\angle DOC = \frac{1}{2} \angle AOC$

$\angle EOC = \frac{1}{2} \angle BOC$

Угол между биссектрисами $OD$ и $OE$ — это угол $\angle DOE$. Он складывается из двух углов: $\angle DOC$ и $\angle EOC$.

$\angle DOE = \angle DOC + \angle EOC$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\angle DOC$ и $\angle EOC$:

$\angle DOE = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle DOE = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOC + \angle BOC$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\angle DOE = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол, равный $90^\circ$, является прямым. Лучи, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Таким образом, биссектрисы смежных углов всегда образуют угол $90^\circ$, то есть они взаимно перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.