номер 18, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

18. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это ... .

Геометрическое место точек (сокращенно ГМТ) — это множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих определённым свойством. В данном случае свойство заключается в равноудалённости от двух заданных точек — концов отрезка.

Пусть дан отрезок $AB$. Мы ищем множество всех точек $P$, для которых расстояние до точки $A$ равно расстоянию до точки $B$, то есть выполняется равенство $PA = PB$.

Докажем, что это ГМТ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Серединный перпендикуляр — это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Доказательство этого факта состоит из двух частей.

Часть 1. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Пусть прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, а $M$ — середина отрезка $AB$. По определению, $m$ проходит через $M$ и $m \perp AB$. Возьмём любую точку $P$ на прямой $m$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$. Катет $PM$ у них общий, а катеты $AM$ и $MB$ равны, так как $M$ — середина $AB$. Следовательно, треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $PA = PB$. Это доказывает, что любая точка на серединном перпендикуляре действительно равноудалена от концов отрезка.

Часть 2. Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Пусть некоторая точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $PA = PB$. Тогда треугольник $\triangle APB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Проведём из вершины $P$ медиану $PM$ к основанию $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является его высотой. Это означает, что $PM \perp AB$. Таким образом, точка $P$ лежит на прямой, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Объединив обе части доказательства, мы заключаем, что искомое геометрическое место точек есть в точности серединный перпендикуляр.

Ответ: серединный перпендикуляр к этому отрезку.