Номер 21, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

21. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекают-

ся в центре ... окружности.

21.

Вопрос касается одной из фундаментальных теорем геометрии треугольника, связанной с его замечательными точками и линиями. Речь идет о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Определение и свойство серединного перпендикуляра:

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Ключевое свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Построим серединные перпендикуляры $m_1$ к стороне $AB$ и $m_2$ к стороне $BC$. Эти две прямые не параллельны (так как стороны $AB$ и $BC$ не параллельны), а значит, они пересекаются в некоторой точке $O$.

1. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, она равноудалена от вершин $A$ и $B$. То есть, $OA = OB$.

2. Поскольку точка $O$ также лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. То есть, $OB = OC$.

3. Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$.

4. Так как $OA = OC$, точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, это означает, что точка $O$ должна лежать и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Вывод:

Точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника ($A$, $B$ и $C$) на одно и то же расстояние $R = OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, которая проходит через все три вершины треугольника. Такая окружность называется описанной около треугольника.

Следовательно, в предложении пропущено слово "описанной".

Ответ: описанной