Номер 26, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

26. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине ... . Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — ... .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине ...

Это свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Чтобы завершить фразу, нужно вставить слово «гипотенузы».

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

Опишем около треугольника $ABC$ окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. В нашем случае, точка $M$ является центром этой окружности.

Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются радиусами этой окружности, а значит, они равны между собой: $MA = MB = MC$.

Поскольку $M$ — середина гипотенузы $AB$, то ее длина равна $AB = AM + MB = 2 \cdot AM$. Отсюда $AM = \frac{1}{2}AB$.

Так как $MC = AM$, получаем, что $MC = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Ответ: гипотенузы.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — ...

Это обратное утверждение (признак прямоугольного треугольника): если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным. Пропущенное слово — «прямоугольный».

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором к стороне $AB$ проведена медиана $CM$. По условию, $CM = \frac{1}{2}AB$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из этих равенств следует, что $CM = AM = MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Поскольку $CM = AM$, треугольник $AMC$ является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

Поскольку $CM = MB$, треугольник $BMC$ также является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle MBC = \angle MCB$. Обозначим величину этих углов как $\beta$.

Угол $C$ треугольника $ABC$ состоит из двух углов: $\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB = \alpha + \beta$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Подставим наши обозначения:

$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Так как $\angle ACB = \alpha + \beta$, то $\angle ACB = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Ответ: прямоугольный.