Номер 5, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Признаки прямоугольника:

1) если у параллелограмма диагонали ..., то это прямоугольник;

2) если у параллелограмма один угол прямой, то это ...;

3) если у четырехугольника все углы прямые, то это ... .

1) Это один из ключевых признаков прямоугольника. Прямоугольник — это частный случай параллелограмма. Свойство, которое отличает прямоугольник от произвольного параллелограмма, связано с его диагоналями. Утверждение гласит: параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны. Таким образом, недостающее слово — "равны".

Доказательство: Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них сторона $AD$ — общая, $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма), и $BD = AC$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. Поскольку в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: равны.

2) Это еще один признак прямоугольника. В любом параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Если один из углов параллелограмма прямой (равен $90^\circ$), то и противолежащий ему угол также будет равен $90^\circ$. Два других угла, прилежащие к той же стороне, что и первый прямой угол, будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, все четыре угла параллелограмма оказываются прямыми, а такой параллелограмм по определению является прямоугольником.

Ответ: прямоугольник.

3) Это утверждение является прямым следствием определения прямоугольника. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Если у четырехугольника все углы равны $90^\circ$, то сумма соседних углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны. Следовательно, противолежащие стороны такого четырехугольника попарно параллельны, что означает, что он является параллелограммом. А параллелограмм с прямыми углами — это прямоугольник.

Ответ: прямоугольник.