Номер 2, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Свойства параллелограмма.

В параллелограмме:

1) сумма соседних углов равна ...;

2) диагональ делит его на ...;

3)-4) противоположные стороны ... и противоположные углы ...;

5) диагонали точкой пересечения делятся ... .

1) сумма соседних углов равна ...;

В параллелограмме соседние углы являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых (противоположных сторонах) и секущей (смежной стороне). Сумма таких углов всегда равна $180^\circ$. Например, если рассмотреть параллелограмм $ABCD$, то его стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $AB$ является для них секущей. Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними односторонними, поэтому их сумма составляет $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

2) диагональ делит его на ...;

Пусть $ABCD$ — параллелограмм. Проведем в нем диагональ $AC$. Она разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним эти треугольники. У них сторона $AC$ является общей. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AB = CD$ и $BC = DA$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Следовательно, диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Ответ: два равных треугольника.

3)-4) противоположные стороны ... и противоположные углы ...;

Данный пункт объединяет два фундаментальных свойства параллелограмма, касающихся его сторон и углов.

Свойство 3 (противоположные стороны): В параллелограмме стороны, лежащие друг напротив друга, не только параллельны по определению, но и равны по длине. В параллелограмме $ABCD$ это означает, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Свойство 4 (противоположные углы): В параллелограмме углы, лежащие друг напротив друга, равны. В параллелограмме $ABCD$ это означает, что $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Это свойство напрямую следует из равенства треугольников, на которые параллелограмм делится диагональю.

Ответ: равны ... равны.

5) диагонали точкой пересечения делятся ... .

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них стороны $AB$ и $CD$ равны как противоположные стороны параллелограмма. Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Аналогично, углы $\angle OBA$ и $\angle ODC$ равны как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $BD$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AO = CO$ и $BO = DO$. Это означает, что точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка.

Ответ: пополам.