Номер 27, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

27. Основные задачи на построение при помощи циркуля и линейки:

1) построение треугольника по трем сторонам;

2) построение биссектрисы угла;

3) построение угла, равного данному;

4) деление отрезка пополам;

5) построение прямой, перпендикулярной данной.

1) построение треугольника по трем сторонам;

Даны три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$. Необходимо построить треугольник, стороны которого равны этим отрезкам. Важным условием возможности построения является выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны (например, $a+b > c$).

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку, которую назовем A.
2. Циркулем измеряем длину отрезка $c$. Устанавливаем острие циркуля в точку A и чертим дугу, пересекающую прямую. Точку пересечения назовем B. Таким образом, мы построили сторону треугольника $AB$, равную $c$.
3. Циркулем измеряем длину отрезка $b$. Устанавливаем острие циркуля в точку A и чертим дугу окружности радиусом $b$.
4. Циркулем измеряем длину отрезка $a$. Устанавливаем острие циркуля в точку B и чертим дугу окружности радиусом $a$ так, чтобы она пересеклась с дугой, построенной на предыдущем шаге.
5. Точку пересечения двух дуг обозначаем C. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.
6. Соединяем с помощью линейки точки A и C, а также B и C.

В результате получаем треугольник ABC, который и является искомым.

Ответ: Построен треугольник ABC, у которого стороны $AB = c$, $AC = b$ и $BC = a$.

2) построение биссектрисы угла;

Дано: угол с вершиной в точке O. Требуется построить луч, который разделит этот угол на две равные части.

Алгоритм построения:

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину угла O и проводим дугу произвольного радиуса. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках, которые мы обозначим A и B.
2. Из точек A и B, как из центров, проводим две новые дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между A и B) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим M.
3. С помощью линейки проводим луч из вершины O через точку M.

Этот луч делит исходный угол на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Луч OM является биссектрисой данного угла, так как $\angle AOM = \angle BOM$.

3) построение угла, равного данному;

Дано: угол $\angle AOB$ и луч O'P. Требуется построить от луча O'P угол, равный углу $\angle AOB$.

Алгоритм построения:

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину данного угла O и проводим дугу произвольного радиуса $r$, которая пересекает его стороны в точках C и D.
2. Не изменяя раствора циркуля, устанавливаем его острие в начало луча O' и проводим дугу того же радиуса $r$. Она пересечет луч O'P в некоторой точке, которую мы обозначим C'.
3. Циркулем измеряем расстояние между точками C и D на сторонах исходного угла.
4. Устанавливаем острие циркуля в точку C' и проводим дугу радиусом, равным расстоянию CD, так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 2. Точку пересечения обозначим D'.
5. С помощью линейки проводим луч O'D'.

Полученный угол $\angle C'O'D'$ будет равен исходному углу $\angle AOB$.

Ответ: Построенный угол $\angle C'O'D'$ равен данному углу $\angle AOB$.

4) деление отрезка пополам;

Дан отрезок AB. Необходимо найти его середину, то есть точку, которая делит отрезок на две равные части.

Алгоритм построения:

1. Устанавливаем острие циркуля в точку A. Выбираем раствор циркуля, заведомо больший половины длины отрезка AB, и проводим дугу окружности.
2. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем его острие в точку B и проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (над и под отрезком). Обозначим эти точки пересечения P и Q.
3. С помощью линейки проводим прямую через точки P и Q.
4. Точка, в которой прямая PQ пересекает отрезок AB, и есть его середина. Обозначим эту точку M.

Прямая PQ также называется серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Точка M является серединой отрезка AB, то есть $AM = MB$.

5) построение прямой, перпендикулярной данной.

Эта задача имеет два основных случая: точка, через которую должен пройти перпендикуляр, лежит на данной прямой или вне ее.

Случай 1: Построение перпендикуляра к прямой $l$ через точку P, лежащую на этой прямой.

1. Устанавливаем острие циркуля в точку P и проводим окружность (или две дуги) произвольного радиуса, которая пересечет прямую $l$ в двух точках. Обозначим их A и B.
2. Из точек A и B, как из центров, проводим две дуги с одинаковым радиусом, большим, чем радиус из предыдущего шага (например, равным отрезку AB). Эти дуги пересекутся в точке Q.
3. С помощью линейки проводим прямую через точки P и Q.

Прямая PQ является перпендикуляром к прямой $l$, проходящим через точку P.

Случай 2: Построение перпендикуляра к прямой $l$ через точку P, не лежащую на этой прямой.

1. Устанавливаем острие циркуля в точку P и проводим дугу такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух точках. Обозначим их A и B.
2. Из точек A и B, как из центров, проводим две дуги одинакового радиуса (например, равного PA) с другой стороны от прямой $l$ относительно точки Р. Точку их пересечения обозначим Q.
3. С помощью линейки проводим прямую через точки P и Q.

Прямая PQ пересекает прямую $l$ под прямым углом и является искомым перпендикуляром.

Ответ: В обоих случаях построенная прямая PQ перпендикулярна данной прямой $l$.