Номер 8, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

8. Теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне угла отложатся ...

8. Завершим формулировку теоремы, представленной в вопросе. Речь идет о теореме Фалеса.

Теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне угла отложатся равные между собой отрезки.

Приведем развернутое доказательство этого утверждения.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$, образованный лучами $l_1$ и $l_2$.

На луче $l_1$ отложим последовательно несколько равных между собой отрезков. Для простоты доказательства рассмотрим два равных отрезка $A_1A_2$ и $A_2A_3$, то есть $A_1A_2 = A_2A_3$.

Через точки $A_1$, $A_2$ и $A_3$ проведем параллельные прямые, которые пересекают луч $l_2$ в точках $B_1$, $B_2$ и $B_3$ соответственно. По условию, прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны друг другу: $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$.

Нам необходимо доказать, что отрезки, отсеченные на луче $l_2$, также равны, то есть $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство:

1. Через точку $B_1$ проведем прямую, параллельную лучу $l_1$, до ее пересечения с прямой $A_2B_2$ в точке $C_1$.
2. Аналогично, через точку $B_2$ проведем прямую, параллельную лучу $l_1$, до ее пересечения с прямой $A_3B_3$ в точке $C_2$.
3. Рассмотрим получившиеся четырехугольники $A_1A_2C_1B_1$ и $A_2A_3C_2B_2$.
   • В четырехугольнике $A_1A_2C_1B_1$ стороны $A_1A_2$ и $B_1C_1$ параллельны ($A_1A_2$ лежит на $l_1$, а $B_1C_1$ построена параллельно $l_1$). Стороны $A_1B_1$ и $A_2C_1$ также параллельны, так как они лежат на параллельных по условию прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Следовательно, $A_1A_2C_1B_1$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что $A_1A_2 = B_1C_1$.
   • Аналогично, $A_2A_3C_2B_2$ — параллелограмм, так как $A_2A_3 \parallel B_2C_2$ и $A_2B_2 \parallel A_3C_2$. Отсюда следует, что $A_2A_3 = B_2C_2$.
4. Поскольку по условию $A_1A_2 = A_2A_3$, из равенств выше следует, что $B_1C_1 = B_2C_2$.
5. Теперь сравним треугольники $\triangle B_1C_1B_2$ и $\triangle B_2C_2B_3$.
   • $B_1C_1 = B_2C_2$ (как было доказано в п.4).
   • $\angle C_1B_1B_2 = \angle C_2B_2B_3$. Эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых $B_1C_1$ и $B_2C_2$ (обе параллельны $l_1$) и секущей $l_2$.
   • $\angle B_1C_1B_2 = \angle B_2C_2B_3$. Эти углы образованы парами соответственно параллельных прямых: $B_1C_1 \parallel B_2C_2$ и $C_1B_2 \parallel C_2B_3$ (так как $C_1B_2$ лежит на прямой $A_2B_2$, а $C_2B_3$ лежит на прямой $A_3B_3$, которые параллельны по условию). Углы с сонаправленными сторонами равны.
6. Таким образом, треугольники $\triangle B_1C_1B_2$ и $\triangle B_2C_2B_3$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство можно аналогично применить к любой паре соседних равных отрезков на луче $l_1$, что подтверждает справедливость теоремы в общем виде.

Ответ: ... равные между собой отрезки.