Номер 15, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

15. Медиана делит треугольник на два равновеликих ...

Утверждение следует завершить словом треугольника. Полное утверждение: "Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника".

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведём медиану $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$.

По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и длины отрезков $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$.

Медиана $BM$ разделила исходный треугольник $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Нам необходимо доказать, что их площади равны (т.е. что они равновелики).

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, так как их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Теперь вычислим площади этих треугольников:

Площадь треугольника $\triangle ABM$ с основанием $AM$ и высотой $BH$ равна:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Площадь треугольника $\triangle CBM$ с основанием $CM$ и высотой $BH$ равна:

$S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Поскольку $AM = MC$ (по определению медианы) и высота $BH$ является общей, правые части формул для площадей равны. Следовательно, равны и сами площади:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Таким образом, доказано, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Ответ: треугольника.