Номер 16, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

16. Отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов соответствующих сторон и равно квадрату коэффициента ... .

16.

Данное утверждение является формулировкой теоремы об отношении площадей подобных треугольников. Чтобы его завершить, нужно вставить недостающее слово. Разберем эту теорему подробно.

Пусть у нас есть два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Подобие означает, что их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны:

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Отношение длин соответствующих сторон является постоянной величиной, которая называется коэффициентом подобия $k$:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Выразим площади треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, обозначив их как $S$ и $S_1$ соответственно:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1$

Найдем отношение площадей $S_1$ к $S$:

$\frac{S_1}{S} = \frac{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A}$

Поскольку треугольники подобны, их соответствующие углы равны, то есть $A = A_1$, и, следовательно, $\sin A = \sin A_1$. Также можно сократить множитель $\frac{1}{2}$. Получаем:

$\frac{S_1}{S} = \frac{A_1B_1 \cdot A_1C_1}{AB \cdot AC} = \frac{A_1B_1}{AB} \cdot \frac{A_1C_1}{AC}$

Из определения коэффициента подобия мы знаем, что $\frac{A_1B_1}{AB} = k$ и $\frac{A_1C_1}{AC} = k$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$\frac{S_1}{S} = k \cdot k = k^2$

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. В утверждении из задания именно это и описывается. Полная и верная формулировка теоремы:

Отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов соответствующих сторон и равно квадрату коэффициента подобия.

Следовательно, пропущенным словом является "подобия".

Ответ: подобия.