Номер 22, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

22. Вписанный угол равен ... соответствующего центрального угла.

В данном предложении пропущено слово половине. Утверждение является теоремой из геометрии и в полном виде звучит так: «Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла».

Приведём развёрнутое доказательство этой теоремы.

Для начала введём определения. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности и сторонами-радиусами. Вписанный и центральный углы называются соответствующими, если они опираются на одну и ту же дугу.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ задан вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на дугу $AC$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это $\angle AOC$. Требуется доказать, что $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Доказательство теоремы сводится к рассмотрению трёх возможных случаев расположения центра окружности $O$ относительно вписанного угла.

Случай 1: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности. Пусть сторона $BC$ проходит через центр $O$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ (так как $OA=OB$ как радиусы). В нём углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $\angle AOC$ является внешним для $\triangle AOB$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA$. Так как углы при основании равны, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle OBA$. Поскольку $\angle OBA$ и есть наш вписанный угол $\angle ABC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Случай 2: центр окружности лежит внутри вписанного угла. Проведём через вершину $B$ диаметр $BD$. Этот диаметр разделит вписанный угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Для каждого из этих углов выполняется условие первого случая. Таким образом: $\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD$ и $\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD$. Сложив эти равенства, получаем: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2}(\angle AOD + \angle COD)$. Так как $\angle AOD + \angle COD = \angle AOC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Случай 3: центр окружности лежит вне вписанного угла. Проведём диаметр $BD$ из вершины $B$. Угол $\angle ABC$ можно представить как разность двух углов, к которым применим первый случай. Например, $\angle ABC = \angle DBC - \angle DBA$. По доказанному в первом случае, $\angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC$ и $\angle DBA = \frac{1}{2} \angle DOA$. Тогда $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOC - \frac{1}{2} \angle DOA = \frac{1}{2}(\angle DOC - \angle DOA)$. Так как разность центральных углов $\angle DOC - \angle DOA$ равна углу $\angle AOC$, то получаем $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Таким образом, теорема верна во всех трёх случаях.

Ответ: половине