Номер 25, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

25. Угол между пересекающимися хордами равен ... градусных мер дуг, одна из которых заключена внутри данного угла, а другая — внутри ему вертикального.

В данном утверждении пропущено слово, которое определяет, как именно угол между хордами связан с градусными мерами дуг. Чтобы найти это слово, необходимо вспомнить или доказать соответствующую теорему из геометрии.

Теорема об угле между пересекающимися хордами.

Угол, образованный двумя пересекающимися в круге хордами, равен полусумме градусных мер дуг, которые заключены между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла.

Доказательство:

Пусть в окружности две хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Рассмотрим угол $\angle AMB$. Дуга, заключенная внутри этого угла, — это дуга $AB$. Вертикальным к $\angle AMB$ является угол $\angle CMD$, и дуга, заключенная внутри него, — это дуга $CD$.

Для доказательства теоремы выполним дополнительное построение: соединим точки $A$ и $D$ отрезком. Получим треугольник $\triangle AMD$.

Угол $\angle AMB$ является внешним углом для треугольника $\triangle AMD$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle AMB = \angle MAD + \angle MDA$

Теперь рассмотрим углы $\angle MAD$ и $\angle MDA$:

1. Угол $\angle MAD$ (он же $\angle CAD$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $CD$. По свойству вписанных углов, его мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
   $\angle MAD = \frac{1}{2} \cdot \smile CD$
2. Аналогично, угол $\angle MDA$ (он же $\angle BDA$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $AB$. Его мера также равна половине градусной меры соответствующей дуги.
   $\angle MDA = \frac{1}{2} \cdot \smile AB$

Подставим полученные выражения в формулу для внешнего угла:

$\angle AMB = \frac{1}{2} \cdot \smile CD + \frac{1}{2} \cdot \smile AB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AMB = \frac{1}{2} (\smile AB + \smile CD)$

Таким образом, доказано, что угол между пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключенных внутри данного угла и внутри ему вертикального. Следовательно, пропущенное слово в утверждении — "полусумме".

Ответ: полусумме