Номер 28, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

28. Угол между хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равен ... градусной меры дуги, заключенной внутри угла.

Угол между хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри угла.

Доказательство теоремы

Это одна из ключевых теорем планиметрии. Для ее доказательства рассмотрим окружность, хорду $AB$ и касательную $l$, проходящую через точку $A$. Угол между хордой $AB$ и касательной $l$ обозначим как $\alpha$. Дуга, заключенная внутри этого угла, — это меньшая дуга $AB$. Требуется доказать, что $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$.

Рассмотрим три возможных случая расположения хорды.

1. Хорда $AB$ является диаметром.

В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности. Касательная $l$ по определению перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, а следовательно, и диаметру $AB$. Значит, угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$. Дуга $AB$, на которую опирается этот угол, является полуокружностью, и ее градусная мера составляет $180^\circ$. Половина градусной меры дуги равна $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Таким образом, $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$, и теорема верна.

2. Хорда $AB$ не является диаметром, и угол $\alpha$ — острый.

Проведем через точку касания $A$ диаметр $AD$. Поскольку касательная в точке $A$ перпендикулярна диаметру $AD$, то $\angle DAL = 90^\circ$, где $L$ — точка на касательной $l$. Угол $\angle DAL$ можно представить как сумму двух углов: $\angle DAL = \angle DAB + \angle BAL$. Отсюда следует, что искомый угол $\alpha = \angle BAL = 90^\circ - \angle DAB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как угол $\angle ABD$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AD$, он является прямым: $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ — прямоугольный. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle ADB + \angle DAB = 90^\circ$. Отсюда $\angle ADB = 90^\circ - \angle DAB$.

Сравнивая два полученных выражения, видим, что $\angle BAL = \angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle ADB = \frac{1}{2} \cup AB$.

Из этого следует, что $\alpha = \angle BAL = \frac{1}{2} \cup AB$. Теорема для острого угла доказана.

3. Угол между хордой и касательной — тупой.

Пусть $\beta$ — тупой угол, образованный хордой $AB$ и касательной $l$. Этот угол является смежным с острым углом $\alpha$, который мы рассмотрели в предыдущем пункте. Значит, $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Дуга, заключенная внутри тупого угла $\beta$, — это большая дуга окружности, стягиваемая хордой $AB$. Ее градусная мера равна $360^\circ$ минус градусная мера меньшей дуги $AB$. Половина градусной меры этой большей дуги равна $\frac{1}{2} (360^\circ - \cup AB) = 180^\circ - \frac{1}{2} \cup AB$.

Как мы доказали ранее, $\alpha = \frac{1}{2} \cup AB$. Подставив это в выражение, получаем: $180^\circ - \alpha$. А так как $\beta = 180^\circ - \alpha$, то и в этом случае величина угла равна половине градусной меры заключенной в нем дуги.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: половине