Номер 34, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

34. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу при соседней ...

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу при соседней вершине.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим его углы: $\angle A = \angle C = \alpha$ и $\angle B = \angle D = \beta$. Из свойств параллелограмма известно, что сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим две высоты, проведенные из одной вершины, например, из вершины $B$. Пусть $BH_1$ — высота, опущенная на прямую $AD$, а $BH_2$ — высота, опущенная на прямую $CD$. Угол между этими высотами — это $\angle H_1BH_2$.

По определению высоты, $BH_1 \perp AD$ и $BH_2 \perp CD$.

Рассмотрим угол параллелограмма при вершине $D$, то есть $\angle D$. Его стороны — это лучи $DA$ (сонаправлен с $AD$) и $DC$ (сонаправлен с $CD$).

Таким образом, мы имеем два угла: $\angle H_1BH_2$ и $\angle D$. Стороны этих углов попарно перпендикулярны ($BH_1 \perp AD$ и $BH_2 \perp CD$). Согласно теореме об углах с соответственно перпендикулярными сторонами, такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle H_1BH_2 = \angle D$ или $\angle H_1BH_2 + \angle D = 180^\circ$.

Чтобы определить, какой из случаев реализуется, рассмотрим два варианта.

1. Высоты проведены из вершины тупого угла.

Пусть угол $B$ — тупой, то есть $\beta > 90^\circ$. Тогда смежные с ним углы $A$ и $C$ — острые ($\alpha < 90^\circ$).

В этом случае основания высот $H_1$ и $H_2$ будут лежать на сторонах $AD$ и $CD$ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $H_1BDH_2$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$.

$\angle H_1BH_2 + \angle BH_1D + \angle D + \angle DH_2B = 360^\circ$

Поскольку $BH_1$ и $BH_2$ — высоты, $\angle BH_1D = 90^\circ$ и $\angle BH_2D = 90^\circ$.

$\angle H_1BH_2 + 90^\circ + \angle D + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle H_1BH_2 + \angle D = 180^\circ$

Отсюда, $\angle H_1BH_2 = 180^\circ - \angle D$.

В параллелограмме $\angle D = \angle B = \beta$. Соседние с $B$ углы — это $\angle A$ и $\angle C$, причем $\angle A = \angle C = \alpha$. Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - \beta = 180^\circ - \angle D$.

Следовательно, $\angle H_1BH_2 = \angle A = \angle C$. То есть, угол между высотами, проведенными из тупого угла, равен острому углу параллелограмма, который находится при соседней вершине.

2. Высоты проведены из вершины острого угла.

Пусть угол $A$ — острый, то есть $\alpha < 90^\circ$. Тогда смежные с ним углы $B$ и $D$ — тупые ($\beta > 90^\circ$). Проведем высоты из вершины $A$ к прямым $BC$ и $CD$. Пусть это будут $AH_1$ и $AH_2$.

Из общего свойства углов с перпендикулярными сторонами, мы знаем, что угол $\angle H_1AH_2$ либо равен, либо дополняет до $180^\circ$ угол $\angle C$, так как $AH_1 \perp BC$ и $AH_2 \perp CD$.

$\angle H_1AH_2 = \angle C$ или $\angle H_1AH_2 = 180^\circ - \angle C$.

В данном случае $\angle C = \alpha$ — острый угол. Визуально можно определить (или доказать через рассмотрение внешних углов), что угол между высотами $\angle H_1AH_2$ будет тупым. Следовательно, он не может быть равен острому углу $\angle C$.

Значит, $\angle H_1AH_2 = 180^\circ - \angle C$.

Поскольку $\angle C = \alpha$ и $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $180^\circ - \angle C = \beta$. Угол $\beta$ — это угол при вершинах $B$ и $D$, которые являются соседними для вершины $A$.

Следовательно, $\angle H_1AH_2 = \angle B = \angle D$. То есть, угол между высотами, проведенными из острого угла, равен тупому углу параллелограмма, который находится при соседней вершине.

В обоих случаях утверждение подтвердилось: угол между высотами, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.

Ответ: вершине.