Номер 39, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

39. Середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной ...

... на одной прямой.

Это утверждение является известной теоремой в геометрии, которую иногда называют теоремой о четырех точках трапеции. Приведем ее развернутое доказательство.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Введем обозначения для ключевых точек:

$M$ – середина основания $AD$.

$N$ – середина основания $BC$.

$O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

$P$ – точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$.

Требуется доказать, что все четыре точки $P$, $O$, $N$, $M$ лежат на одной прямой.

1. Докажем, что точки P, N и M лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы при секущих $AP$ и $DP$ будут соответственными: $\angle PBC = \angle PAD$ и $\angle PCB = \angle PDA$. Следовательно, $\triangle PBC \sim \triangle PAD$ (по двум углам).

Подобие этих треугольников можно рассматривать как гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $P$. Эта гомотетия переводит треугольник $\triangle PBC$ в треугольник $\triangle PAD$. При этом отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$.

Одним из свойств гомотетии является то, что середина отрезка переходит в середину его образа. Точка $N$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, ее образ при данной гомотетии должен быть серединой отрезка $AD$, то есть точкой $M$.

По определению гомотетии, центр гомотетии (точка $P$), любая точка (в нашем случае $N$) и ее образ (точка $M$) лежат на одной прямой. Таким образом, доказано, что точки $P$, $N$ и $M$ коллинеарны.

2. Докажем, что точки O, N и M лежат на одной прямой.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Так как $BC \parallel AD$, то углы при секущих $AC$ и $BD$ являются накрест лежащими: $\angle OCB = \angle OAD$ и $\angle OBC = \angle ODA$. Следовательно, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ (по двум углам).

Это подобие также можно рассматривать как гомотетию, но уже с центром в точке $O$ и отрицательным коэффициентом. Эта гомотетия переводит точку $B$ в точку $D$, а точку $C$ в точку $A$. Таким образом, отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$.

Так же, как и в предыдущем пункте, середина отрезка ($N$ для $BC$) переходит в середину его образа ($M$ для $AD$).

По определению гомотетии, центр ($O$), точка ($N$) и ее образ ($M$) лежат на одной прямой. Таким образом, доказано, что точки $O$, $N$ и $M$ коллинеарны.

Заключение

Из пункта 1 мы знаем, что точки $P, N, M$ лежат на одной прямой. Из пункта 2 мы знаем, что точки $O, N, M$ лежат на одной прямой. Поскольку через две различные точки ($M$ и $N$) можно провести только одну прямую, то все четыре точки ($P, O, N, M$) принадлежат этой единственной прямой.

Ответ: на одной прямой.