Номер 37, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

37. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника: треугольники, прилежащие к боковым сторонам, ..., а прилежащие к основаниям — ....

треугольники, прилежащие к боковым сторонам

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, — это $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

1. У них общее основание $AD$.

2. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$, равны между собой, поскольку прямые $AD$ и $BC$ параллельны по определению трапеции.

Из этого следует, что площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ — это сумма площадей $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, то мы можем приравнять правые части выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Вычитая из обеих частей равенства общую площадь $S_{\triangle AOD}$, получаем:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$

Треугольники с равными площадями называются равновеликими.

Ответ: равновелики.

а прилежащие к основаниям

Треугольники, прилежащие к основаниям трапеции $ABCD$, — это $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$.

Рассмотрим эти два треугольника. Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$.

1. $\angle BOC = \angle AOD$ (как вертикальные углы).

2. $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

3. $\angle OCB = \angle OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: подобны.