Номер 30, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

30. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна ...

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине.

Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — это внутренние углы многоугольника, а $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ — соответствующие им внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

Так как внутренний и внешний углы при каждой вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. То есть, для любой вершины $i$ справедливо равенство: $\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$.

Если просуммировать это равенство по всем $n$ вершинам, то сумма всех внутренних и всех внешних углов $n$-угольника будет равна: $\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ = n \cdot 180^\circ$.

Эту же сумму можно записать как сумму всех внутренних углов плюс сумму всех внешних углов: $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$.

Известно, что сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Подставим выражение для суммы внутренних углов в наше уравнение: $(n-2) \cdot 180^\circ + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$.

Теперь выразим сумму внешних углов $\sum_{i=1}^{n} \beta_i$:

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$ и не зависит от количества его сторон (при $n \ge 3$).

Этот результат можно также представить интуитивно. Представьте, что вы обходите многоугольник по периметру. При прохождении каждой вершины вы поворачиваетесь на угол, равный внешнему углу этой вершины. Совершив полный обход и вернувшись в исходную точку и в исходное направление, вы в сумме повернетесь на один полный оборот, то есть на $360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.