Номер 23, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

23. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, ... .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Это утверждение является важным следствием из теоремы о вписанном угле. Чтобы его доказать, необходимо сначала вспомнить основную теорему.

Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство следствия:

Рассмотрим окружность. Пусть на этой окружности выбраны точки $A$ и $B$, которые определяют дугу $\text{◡}AB$.

Возьмем две произвольные точки $C_1$ и $C_2$ на окружности, которые лежат по одну сторону от хорды $AB$. Построим два вписанных угла: $\angle AC_1B$ и $\angle AC_2B$. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $\text{◡}AB$.

Применим теорему о вписанном угле к каждому из этих углов:

Для угла $\angle AC_1B$ справедливо равенство: $\angle AC_1B = \frac{1}{2} \text{◡}AB$.

Для угла $\angle AC_2B$ справедливо аналогичное равенство: $\angle AC_2B = \frac{1}{2} \text{◡}AB$.

Правые части обоих равенств одинаковы, так как они зависят только от градусной меры дуги $\text{◡}AB$. Следовательно, левые части также должны быть равны друг другу:

$\angle AC_1B = \angle AC_2B$

Это и доказывает, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Ответ: равны.