Номер 20, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

20. Теорема Фалеса обобщенная:

параллельные прямые отсекают на сторонах угла ... отрезки.

Пропущенное слово в формулировке — пропорциональные. Таким образом, полная формулировка обобщенной теоремы Фалеса (также известной как теорема о пропорциональных отрезках) звучит так: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Дадим развернутое объяснение с доказательством.

Формулировка и доказательство

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) пересекают стороны угла. Прямая $a$ пересекает одну сторону в точке $A_1$, а другую — в точке $A_2$. Прямая $b$ пересекает те же стороны соответственно в точках $B_1$ и $B_2$. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на одной стороне угла, а точки $A_2$ и $B_2$ — на другой. Будем считать, что точка $A_1$ лежит между $O$ и $B_1$.

Теорема утверждает, что отрезки, отсекаемые на сторонах угла, пропорциональны. Это можно записать в виде равенства отношений:

$\frac{OA_1}{OB_1} = \frac{OA_2}{OB_2}$

Или, в другой форме:

$\frac{OA_1}{A_1B_1} = \frac{OA_2}{A_2B_2}$

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате построения: $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OB_1B_2$.

1. Угол $\angle A_1OA_2$ (или $\angle O$) является общим для этих двух треугольников.

2. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $A_1A_2 \parallel B_1B_2$, то при пересечении их секущей $OB_1$ образуются равные соответственные углы: $\angle OA_1A_2 = \angle OB_1B_2$. Аналогично, при пересечении их секущей $OB_2$ получаем $\angle OA_2A_1 = \angle OB_2B_1$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (общий угол при вершине $O$ и пара соответственных углов), то по первому признаку подобия треугольники $\triangle OA_1A_2$ и $\triangle OB_1B_2$ подобны.

$\triangle OA_1A_2 \sim \triangle OB_1B_2$

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{OA_1}{OB_1} = \frac{OA_2}{OB_2} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$

Равенство $\frac{OA_1}{OB_1} = \frac{OA_2}{OB_2}$ доказывает первую формулировку пропорциональности отрезков.

Чтобы доказать вторую форму, воспользуемся свойством пропорций. Из доказанного равенства $\frac{OA_1}{OB_1} = \frac{OA_2}{OB_2}$ следует, что $\frac{OB_1}{OA_1} = \frac{OB_2}{OA_2}$.

Представим отрезки $OB_1$ и $OB_2$ как суммы отрезков: $OB_1 = OA_1 + A_1B_1$ и $OB_2 = OA_2 + A_2B_2$. Подставим эти выражения в пропорцию:

$\frac{OA_1 + A_1B_1}{OA_1} = \frac{OA_2 + A_2B_2}{OA_2}$

Разделим числитель на знаменатель в каждой части равенства:

$\frac{OA_1}{OA_1} + \frac{A_1B_1}{OA_1} = \frac{OA_2}{OA_2} + \frac{A_2B_2}{OA_2}$

$1 + \frac{A_1B_1}{OA_1} = 1 + \frac{A_2B_2}{OA_2}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем:

$\frac{A_1B_1}{OA_1} = \frac{A_2B_2}{OA_2}$

Это равенство можно переписать в виде $\frac{OA_1}{A_1B_1} = \frac{OA_2}{A_2B_2}$, что и доказывает вторую формулировку.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: пропорциональные