Номер 14, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

14. Обратная теорема Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник ...

Данное утверждение является формулировкой теоремы, обратной теореме Пифагора. Она гласит, что если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Рассмотрим это утверждение более подробно.

Пусть у нас есть треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Если для этих сторон выполняется соотношение $a^2 + b^2 = c^2$, то, согласно обратной теореме Пифагора, угол, лежащий напротив стороны $c$, является прямым, то есть равен $90^\circ$. Стороны $a$ и $b$ в этом случае являются катетами, а сторона $c$ — гипотенузой.

Доказательство теоремы:
1. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором стороны $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, и для которого по условию выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$.
2. Построим второй треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ ($\angle C_1 = 90^\circ$) и катетами, равными сторонам $a$ и $b$ первого треугольника: $B_1C_1 = a$ и $A_1C_1 = b$.
3. По прямой теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$ найдем квадрат его гипотенузы $A_1B_1$: $(A_1B_1)^2 = (A_1C_1)^2 + (B_1C_1)^2 = b^2 + a^2$.
4. Сравнивая это выражение с условием для треугольника $ABC$ ($c^2 = a^2 + b^2$), мы получаем, что $(A_1B_1)^2 = c^2$. Так как длины сторон — положительные величины, то отсюда следует, что $A_1B_1 = c$.
5. Теперь мы имеем два треугольника, $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых все три стороны соответственно равны ($BC=B_1C_1=a$, $AC=A_1C_1=b$, $AB=A_1B_1=c$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $C$ равен углу $C_1$: $\angle C = \angle C_1$.
7. Так как по нашему построению $\angle C_1 = 90^\circ$, то и $\angle C = 90^\circ$.
8. Это доказывает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Таким образом, пропущенное слово в утверждении — "прямоугольный".
Ответ: прямоугольный.