Номер 11, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

11. Медианы треугольника пересекаются ... и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины.

11. В пропущенном месте должно быть словосочетание "в одной точке". Полное утверждение, известное как теорема о медианах треугольника, звучит так:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Ниже приведено развернутое доказательство этой теоремы.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем две медианы, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Пусть они пересекаются в точке $M$.

Рассмотрим отрезок $A_1B_1$. Так как он соединяет середины двух сторон треугольника ($AC$ и $BC$), он является его средней линией.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AB$) и равна её половине: $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle A_1MB_1$. У них:

• $\angle AMB = \angle A_1MB_1$ (как вертикальные углы).
• $\angle MAB = \angle MA_1B_1$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AA_1$).
• $\angle MBA = \angle MB_1A_1$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $BB_1$).

Следовательно, треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle A_1MB_1$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AM}{MA_1} = \frac{BM}{MB_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Поскольку $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$, то коэффициент подобия $k = \frac{AB}{A_1B_1} = 2$.

Значит, $\frac{AM}{MA_1} = 2$ и $\frac{BM}{MB_1} = 2$. Это доказывает, что точка пересечения двух медиан делит их в отношении $2:1$, считая от вершины.

Аналогично, если мы рассмотрим медианы $AA_1$ и $CC_1$ (где $C_1$ - середина $AB$), мы докажем, что их точка пересечения делит медиану $AA_1$ в том же отношении $2:1$. Так как на отрезке $AA_1$ существует лишь одна точка, делящая его в таком отношении, то третья медиана $CC_1$ также проходит через точку $M$.

Таким образом, все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины.

Ответ: в одной точке.