Номер 18, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

18. Три признака подобия треугольников.

Треугольники подобны, если:

1) два ... одного треугольника соответственно равны двум ... другого треугольника;

2) две ... одного треугольника соответственно пропорциональны двум ... другого треугольника, а углы между ними равны;

3) три ... одного треугольника соответственно пропорциональны трем ... другого треугольника.

1) два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.
Это первый признак подобия треугольников (по двум углам). Он гласит, что если для двух треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ выполняются равенства двух пар углов, например, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то такие треугольники подобны: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Из подобия следует, что и третьи углы равны ($\angle C = \angle C_1$), а соответствующие стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $k$: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$.

Ответ: угла, углам.

2) две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны.
Это второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Согласно этому признаку, если для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ выполняется равенство углов, заключенных между двумя парами сторон ($\angle A = \angle A_1$), и эти стороны пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$), то треугольники подобны: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: стороны, сторонам.

3) три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
Это третий признак подобия треугольников (по трем сторонам). Он утверждает, что если все три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ это означает, что если выполняется соотношение $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: стороны, сторонам.