Номер 35, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

35. Середины сторон четырехугольника являются вершинами ...

Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Это утверждение известно в геометрии как теорема Вариньона.

Доказательство:

Пусть дан произвольный (даже невыпуклый) четырехугольник $ABCD$. Обозначим точки $K, L, M, N$ как середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Проведем диагональ $AC$ в исходном четырехугольнике. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины двух его сторон — $AB$ и $BC$. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен основанию $AC$ и равен его половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины его сторон $DA$ и $CD$. Аналогично, по теореме о средней линии, отрезок $NM$ также параллелен $AC$ и равен половине ее длины: $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, мы получили, что два отрезка $KL$ и $NM$ оба параллельны одному и тому же отрезку $AC$ и оба равны половине его длины. Отсюда следует, что стороны $KL$ и $NM$ четырехугольника $KLMN$ параллельны и равны между собой: $KL \parallel NM$ и $KL = NM$.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $KLMN$ — параллелограмм. Теорема доказана.

Ответ: параллелограмма.