Номер 2, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \dots, \quad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}; $

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60^\circ = \dots, \quad \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}; $

$ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \operatorname{tg} 45^\circ = \operatorname{ctg} 45^\circ = \dots $

$\cos 30^\circ$

Для нахождения значения $ \cos 30^\circ $ можно использовать основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Из условия известно, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставим это значение в тождество:
$ (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 30^\circ = 1 $
$ \frac{1}{4} + \cos^2 30^\circ = 1 $
$ \cos^2 30^\circ = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $
Так как угол $30^\circ$ находится в первой четверти, его косинус является положительным числом.
$ \cos 30^\circ = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

$\text{tg } 60^\circ$

Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $ \text{tg }\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Из условия известны значения для угла $60^\circ$: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставим эти значения в формулу для тангенса:
$ \text{tg } 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} $.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$ \text{tg } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $

$\text{tg } 45^\circ = \text{ctg } 45^\circ$

Для нахождения тангенса и котангенса угла $45^\circ$ воспользуемся их определениями.
Тангенс определяется как $ \text{tg }\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Из условия известно, что $ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \text{tg } 45^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 $.
Котангенс определяется как $ \text{ctg }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
$ \text{ctg } 45^\circ = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 $.
Таким образом, $ \text{tg } 45^\circ = \text{ctg } 45^\circ = 1 $.
Ответ: $ 1 $