Номер 8, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

8. Высота прямоугольного треугольника — есть среднее пропорциональное между ... катетов на гипотенузу:

$h_c = \sqrt{a_c b_c}$.

Катет — есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на ...:

$a = \sqrt{c \cdot a_c}$, $b = \sqrt{...}$.

Высота прямоугольного треугольника — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

В данном утверждении пропущено слово «проекциями». Это одно из ключевых метрических соотношений в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Проведем высоту $h_c$ из вершины прямого угла к гипотенузе. Основание высоты разделит гипотенузу на два отрезка: $a_c$ и $b_c$. Эти отрезки называются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Высота $h_c$ делит исходный прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Эти два треугольника подобны друг другу. Из подобия их сторон следует пропорция: $\frac{h_c}{a_c} = \frac{b_c}{h_c}$.

Если в этой пропорции перемножить средние и крайние члены («крест-накрест»), получим равенство: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы приходим к формуле, указанной в задании: $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$. Это доказывает, что высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (или средним геометрическим) между проекциями катетов на гипотенузу.

Ответ: проекциями

Катет — есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

В этой фразе пропущено слово «гипотенузу». Также необходимо было дополнить формулу для катета $b$. Это еще одно важное метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике.

Каждый из треугольников, на которые высота делит исходный прямоугольный треугольник, подобен исходному треугольнику. Рассмотрим подобие исходного треугольника (с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$) и треугольника, включающего катет $a$ и его проекцию $a_c$. Из подобия следует отношение их сторон: $\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$.

Преобразовав эту пропорцию, получаем: $a^2 = c \cdot a_c$, откуда $a = \sqrt{c \cdot a_c}$.

Абсолютно аналогично для катета $b$ и его проекции $b_c$. Из подобия соответствующего малого треугольника и исходного большого треугольника имеем: $\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$.

Отсюда $b^2 = c \cdot b_c$, и, следовательно, недостающая часть формулы для катета $b$ имеет вид: $b = \sqrt{c \cdot b_c}$.

Таким образом, утверждение полностью доказано, а пропуски в тексте и формуле заполнены.

Ответ: гипотенузу; $b = \sqrt{c \cdot b_c}$