Номер 11, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

11. Площадь треугольника (описанного многоугольника) можно найти по формуле $S = pr$, где $r$ — радиус ... окружности, $p$ — полупериметр.

В предложении пропущено слово «вписанной». Полное и верное утверждение звучит так: «Площадь треугольника (описанного многоугольника) можно найти по формуле $S = pr$, где $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр».

Формула $S = pr$ связывает площадь многоугольника, в который можно вписать окружность (такой многоугольник называется описанным), его полупериметр и радиус этой вписанной окружности.

Докажем это на примере треугольника. Пусть в треугольник со сторонами $a, b, c$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Если соединить центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника, то исходный треугольник разобьется на три меньших треугольника. Площадь исходного треугольника $S$ будет равна сумме площадей этих трех треугольников.

Основаниями этих треугольников являются стороны исходного треугольника ($a, b, c$), а высотой каждого из них, проведенной к этому основанию, является радиус вписанной окружности $r$ (поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Площади этих трех треугольников равны $\frac{1}{2}ar$, $\frac{1}{2}br$ и $\frac{1}{2}cr$.

Таким образом, площадь всего треугольника $S$ равна их сумме:

$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}(a+b+c)r$

Сумма сторон $(a+b+c)$ — это периметр треугольника. По определению, полупериметр $p$ равен половине периметра: $p = \frac{a+b+c}{2}$. Соответственно, периметр равен $a+b+c = 2p$.

Подставим $2p$ в нашу формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}(2p)r = pr$

Этот вывод показывает, что $r$ в формуле $S = pr$ является радиусом именно вписанной окружности. Аналогичное доказательство справедливо для любого описанного многоугольника.

Ответ: вписанной.