Номер 16, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

16. Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны ... .

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу ... окружности треугольника:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.$$

Заполнение пропусков в формулировке теоремы

В тексте задания представлена формулировка теоремы синусов с двумя пропусками. Для получения полного и верного утверждения необходимо вставить следующие слова и словосочетания:

• В первое предложение ("Стороны треугольника пропорциональны ..."): синусам противолежащих углов.
• Во второе предложение ("...равно удвоенному радиусу ... окружности треугольника"): описанной.

Таким образом, полная формулировка теоремы звучит следующим образом.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности треугольника.

Развернутое объяснение и формула

Теорема синусов устанавливает фундаментальное соотношение между сторонами треугольника и противолежащими им углами, а также связывает их с радиусом описанной окружности.

1. Пропорциональность сторон синусам углов. Первая часть утверждения означает, что если есть треугольник со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$, лежащими напротив этих сторон соответственно, то их отношения будут равны:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} $

Это соотношение полезно для нахождения неизвестных сторон или углов треугольника.

2. Связь с описанной окружностью. Расширенная теорема синусов утверждает, что общее значение этих отношений равно диаметру ($2R$) окружности, описанной около треугольника. Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Это позволяет записать полную формулу теоремы:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $

где $R$ — это радиус описанной окружности.

Ответ: Пропущенные в формулировке слова: синусам противолежащих углов и описанной. Итоговый текст теоремы: "Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности треугольника."