Номер 23, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

23. В правильном треугольнике сторона a, радиус R описанной окружности, радиус r вписанной окружности связаны формулами:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$...

а) Доказательство формулы для радиуса R описанной окружности

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. В правильном треугольнике центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров, которые также являются медианами, высотами и биссектрисами.

Проведем высоту $h$ к одной из сторон. Высота в равностороннем треугольнике также является медианой, поэтому она делит основание на два отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной основания, по теореме Пифагора найдем длину высоты $h$:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения медиан и делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до вершины треугольника, что соответствует $\frac{2}{3}$ длины медианы (высоты).

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Это соответствует второй форме записи в условии. Чтобы проверить первую форму, $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, выполним преобразование, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Поскольку оба выражения равны, формула $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ верна.

Ответ: Формула для радиуса описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ доказана.

б) Завершение и доказательство формулы для радиуса r вписанной окружности

В условии задачи приведена неполная формула: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{...}$. Необходимо завершить запись формулы и доказать ее.

Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра правильного треугольника $O$ до любой из его сторон. Это расстояние равно отрезку высоты $h$ от основания до точки $O$. Поскольку точка $O$ делит высоту (медиану) в отношении $2:1$, считая от вершины, то $r$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины высоты.

Используя найденное ранее значение высоты $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, получим:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Таким образом, недостающее число в знаменателе равно 6. Полная формула имеет вид: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь убедимся, что обе части равенства в условии верны. Преобразуем первую часть, $\frac{a}{2\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Обе формы записи эквивалентны. Следовательно, формула $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ верна.

Ответ: Недостающее число в знаменателе формулы равно 6. Доказано, что $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.