Номер 25, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

25. Косинус угла ... со сторонами a, b и c можно найти по формуле

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Представленная формула $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ является следствием из теоремы косинусов для произвольного треугольника.

Теорема косинусов устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов. Для треугольника со сторонами a, b, c и углом $\alpha$, который противолежит стороне a (то есть, является углом между сторонами b и c), теорема записывается так: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$.

Для того чтобы найти косинус угла $\alpha$, необходимо выполнить алгебраические преобразования этой формулы. Если выразить из нее член, содержащий косинус, получим $2bc \cdot \cos\alpha = b^2 + c^2 - a^2$. Затем, разделив обе части на $2bc$ (длины сторон треугольника не равны нулю), мы придем к исходной формуле: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

Из вывода следует, что данная формула позволяет вычислить косинус угла треугольника, зная длины всех трех его сторон. Угол $\alpha$ в этой записи — это угол, лежащий напротив стороны a. Следовательно, в предложении "Косинус угла ... со сторонами a, b и c можно найти по формуле" на месте многоточия должно быть соответствующее уточнение, описывающее этот угол.

Ответ: Пропущенная часть предложения: треугольника, противолежащего стороне a.