Номер 18, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

18. Площадь треугольника можно найти по формуле ... :

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Представленная формула называется формулой Герона. Она позволяет вычислить площадь $S$ произвольного треугольника, если известны длины всех трех его сторон.

Описание переменных в формуле

В формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:

$S$ — это искомая площадь треугольника.

$a$, $b$, $c$ — это длины сторон треугольника.

$p$ — это полупериметр треугольника.

Нахождение полупериметра

Полупериметр $p$ вычисляется как половина суммы длин всех сторон треугольника. Его можно найти по формуле:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

Алгоритм вычисления площади по формуле Герона

1. Найти периметр треугольника, сложив длины его сторон: $P = a + b + c$.

2. Вычислить полупериметр, разделив периметр на 2: $p = \frac{P}{2}$.

3. Найти разности между полупериметром и каждой из сторон: $(p - a)$, $(p - b)$ и $(p - c)$.

4. Перемножить полупериметр и три полученные разности: $p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)$.

5. Извлечь квадратный корень из полученного произведения, чтобы найти площадь $S$.

Пример использования

Допустим, нужно найти площадь треугольника со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Шаг 1. Найдем полупериметр $p$.
$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Шаг 2. Подставим значения в формулу Герона.
$S = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

Шаг 3. Выполним вычисления и найдем площадь.
Для удобства разложим числа под корнем на множители:
$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$
Сгруппируем одинаковые множители:
$S = \sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2) \cdot 4} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2}$
Извлечем корень:
$S = 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 84$ см$^2$.

Площадь треугольника равна 84 квадратным сантиметрам.

Ответ: Данная формула является формулой Герона и используется для вычисления площади треугольника через длины его трех сторон $a, b, c$. Величина $p$ в формуле — это полупериметр, который находится как $p = \frac{a+b+c}{2}$.