Номер 13, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

13. Радиус окружности, вписанной в ... треугольник, находится по формуле

$r = \frac{a+b-c}{2}$

13. Данная формула предназначена для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. Давайте докажем это.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. В этот треугольник вписана окружность радиуса $r$.

Существует общая формула для радиуса вписанной в любой треугольник окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Для прямоугольного треугольника:

1. Площадь $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

2. Полупериметр $p$ равен половине суммы длин всех сторон: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Подставим эти значения в общую формулу: $r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{ab}{a+b+c}$. Эта формула верна, но она не похожа на ту, что дана в условии. Приведем доказательство, которое напрямую ведет к искомой формуле.

Рассмотрим прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершины до точек касания равны.

Пусть окружность касается катетов в точках $D$ и $E$, а гипотенузы — в точке $F$. Вершины треугольника обозначим как $A$, $B$, $C$, где $C$ — вершина прямого угла. Тогда катет $AC = b$, катет $BC = a$, гипотенуза $AB = c$.

Центр вписанной окружности $I$ равноудален от сторон, поэтому $ID=IE=r$. Четырехугольник $CDIE$ является квадратом, так как у него все углы прямые и смежные стороны $ID$ и $IE$ равны. Следовательно, $CD = CE = r$.

Длины отрезков касательных, проведенных из вершин $A$ и $B$, будут:

$AE = AF = AC - CE = b - r$

$BD = BF = BC - CD = a - r$

Гипотенуза $c$ состоит из двух отрезков: $c = AB = AF + FB$.

Подставим значения $AF$ и $FB$:

$c = (b - r) + (a - r)$

$c = a + b - 2r$

Теперь выразим из этого уравнения радиус $r$:

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Таким образом, формула $r = \frac{a+b-c}{2}$ верна для прямоугольного треугольника, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пропущенное слово в условии — "прямоугольный".

Ответ: прямоугольный.