Номер 14, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

14. У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов равна ... . И обратно, если ... .

Это утверждение формулирует свойство и признак вписанного четырехугольника. Оно состоит из двух взаимосвязанных частей: прямой и обратной теоремы.

У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°.

Это прямая теорема (свойство вписанного четырехугольника). Она утверждает, что если все четыре вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то суммы его противоположных углов будут равны $180^\circ$.
Доказательство:
Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Его углы $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ являются вписанными углами этой окружности. По свойству вписанного угла, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.
Рассмотрим пару противоположных углов, например, $\angle A$ и $\angle C$.
Угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$. Его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \cup BCD$.
Противоположный ему угол $\angle C$ (или $\angle BCD$) опирается на дугу $DAB$. Его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \cup DAB$.
Найдем сумму этих углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cup BCD + \frac{1}{2} \cup DAB = \frac{1}{2} (\cup BCD + \cup DAB)$.
Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$.
Следовательно, $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.
Аналогичное доказательство можно провести для второй пары противоположных углов, $\angle B$ и $\angle D$:
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \cup ADC + \frac{1}{2} \cup ABC = \frac{1}{2} (\cup ADC + \cup ABC) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.
Таким образом, первая часть утверждения доказана.

И обратно, если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Это обратная теорема (признак вписанного четырехугольника). Она говорит о том, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то его можно вписать в окружность.
Доказательство:
Пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором сумма противоположных углов равна $180^\circ$, например, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. Проведем окружность через вершины $A$, $B$ и $D$.
Докажем, что четвертая вершина $C$ также обязательно лежит на этой окружности.
Для всех точек $M$, лежащих на дуге $AD$, которая не содержит точку $B$, вписанный угол $\angle AMD$ имеет постоянную величину. Согласно доказанному свойству, для вписанного четырехугольника $ABMD$ будет выполняться $\angle B + \angle AMD = 180^\circ$.
По нашему условию, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Рассмотрим другую пару углов: $\angle B$ и $\angle D$. Так как сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, то $\angle B + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle C) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.
Итак, мы имеем, что $\angle D = 180^\circ - \angle B$.
Геометрическое место точек, из которых отрезок $AB$ виден под одним и тем же углом, является дугой окружности. Все точки $M$ на дуге $ADB$ таковы, что $\angle AMB = \angle ADB = \text{const}$.
Рассмотрим точки $A, B, C$. Опишем окружность вокруг $\triangle ABC$. Для любой точки $D'$ на этой окружности, лежащей по ту же сторону от прямой $AC$, что и точка $D$, будет выполняться $\angle AD'C = 180^\circ - \angle B$. По условию, у нас $\angle ADC = 180^\circ - \angle B$. Так как из точек $D$ и $D'$ отрезок $AC$ виден под одним и тем же углом, и они лежат по одну сторону от прямой $AC$, то точка $D$ совпадает с точкой $D'$ и, следовательно, лежит на окружности.
Таким образом, все четыре вершины четырехугольника лежат на одной окружности.

Ответ: 180° ... если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.