номер 20, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

20. В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу ... окружности.

Для того чтобы определить, радиусу какой окружности (вписанной или описанной) равна сторона правильного шестиугольника, рассмотрим его свойства.

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равных равносторонних треугольников, соединив его вершины с центром. Центр шестиугольника является также центром описанной и вписанной окружностей.

Пусть $a$ — длина стороны правильного шестиугольника, $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до любой вершины шестиугольника. Таким образом, две стороны каждого из шести треугольников, на которые разбит шестиугольник, равны $R$. Третья сторона каждого треугольника является стороной шестиугольника, то есть равна $a$.

Угол при вершине каждого из этих треугольников, расположенной в центре шестиугольника, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Поскольку треугольник является равнобедренным (две стороны равны $R$), углы при его основании также равны: $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Так как все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, сторона шестиугольника $a$ равна радиусу описанной окружности $R$.

$a = R$

Радиус вписанной окружности $r$ (апофема) — это перпендикуляр, опущенный из центра на любую сторону шестиугольника. Этот перпендикуляр является высотой в одном из равносторонних треугольников со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Видно, что $a \neq r$.

Таким образом, в правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности.

Ответ: описанной