номер 24, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

24. Площадь ... можно найти по формуле

$S = \frac{abc}{4R}$

В данном утверждении пропущено слово треугольника. Формула $S = \frac{abc}{4R}$ используется для вычисления площади произвольного треугольника.

В этой формуле:

• $S$ — площадь треугольника;
• $a$, $b$, $c$ — длины его сторон;
• $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство формулы:

Вывод этой формулы можно произвести, используя две другие известные теоремы геометрии.

1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Пусть $\gamma$ — угол, лежащий между сторонами $a$ и $b$. Тогда площадь треугольника $S$ можно выразить как:
$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

2. Согласно обобщенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для данного треугольника и равной диаметру ($2R$) описанной около него окружности:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Из теоремы синусов выразим синус угла $\gamma$. Из соотношения $\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$ получаем:
$\sin \gamma = \frac{c}{2R}$

Теперь подставим полученное выражение для $\sin \gamma$ в формулу площади:
$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left( \frac{c}{2R} \right)$

После упрощения получаем искомую формулу:
$S = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, мы доказали, что данная формула верна для нахождения площади треугольника.

Ответ: треугольника.